Как записать производную в mathcad
Перейти к содержимому

Как записать производную в mathcad

  • автор:

Как записать производную в mathcad

Возвращает n-ю производную f(t) по t , вычисляемую в точке t .
• При численном вычислении n — натуральное число между 0 и 5 включительно.
• При аналитическом вычислении n — любое натуральное число.
Ctrl+Shift+D

Возвращает n-ю частную производную f(t) по t , вычисляемую в точке t .
• При численном вычислении n — натуральное число между 0 и 5 включительно.
• При аналитическом вычислении n — любое натуральное число.

Определяет функцию g как 1-ю производную функции f(t) .
• Можно расположить каскадом n операторов «штрих», чтобы получить nth производную.

• При численном или аналитическом вычислении можно использовать любое количество операторов «штрих». Однако аналитическое вычисление может занимать намного меньше времени.

Ctrl+’ (апостроф)
• f(t) — функция, принимающая скалярные значения. Функция может быть комплексной.
◦ В случае оператора «производная» f(t) может представлять собой функцию любого числа переменных.
◦ В случае оператора «штрих» f(t) должна быть только функцией одной переменной.
• g — имя функции.
• t — точка, в которой вычисляется производная.
Дополнительные сведения
• При вычислении первой производной выражения местозаполнитель степени можно оставить пустым.

• Первая производная вычисляется с точностью до 7—8 значащих цифр при условии, что точка, в которой вычисляется производная, расположена не слишком близко к сингулярности функции. Точность может уменьшаться примерно на 1 значащую цифру за каждое повышение порядка производной.

• Численный метод, используемый при вычислении производных, является разновидностью метода Риддера, в котором вычисляется (n + 1) -точечные разделенные разности с использованием различных размеров шага, где n — порядок производной. Затем с использованием взвешенных средних вычисляются последовательные аппроксимации и сводятся в таблицу. Последовательные записи в таблице сравниваются, и та, у которой оказывается наименьшая ошибка, возвращается как производная при условии, что ошибка не превышает некоторого допустимого уровня.

Как записать производную в mathcad

Для вычисления производных необходимо выбрать соответствующую пиктограмму на панели «Исчисление». Заметим, что функция, ставящаяся под производную, может быть, как определена заранее, так и непосредственно под знаком производной. Так же очень важно, что при вычислении производной не возможно равенство правой и левой частей выражения, поэтому следует использовать знак символьных вычислений вместо знака равенства. Он находится на панели «Символика» и выглядит как стрелка направленная в правую сторону.

Для вычисления производных высших порядков MathCAD предусмотрена функция, которая находит производные n -го порядка. Заполнять плейсхолдеры рекомендуется, начиная со знаменателя, т.е. с той переменной, по которой производится дифференцирование (см. рис. 12).

MathCAD — это просто! Часть 13. Продолжаем бороться с дифференциальным исчислением

В прошлый раз мы с вами научились использовать возможности мощнейшей математической среды MathCAD для вычисления различных вещей, относящихся к дифференциальному исчислению: пределов, производных, сумм сходящихся числовых и функциональных рядов. Сегодня мы с вами продолжим знакомство с тем, как в MathCAD вычислять многие важные вещи из ВУЗовского курса математического анализа. Надеюсь, что это будет для вас достаточно интересно.

Вычисление частных производных

Напомню на всякий случай, что частными называются производные от функций нескольких переменных, берущиеся по одной или нескольким переменным. Для вычисления частных производных в MathCAD’е используются те же самые операторы, которые мы с вами уже весьма успешно применяли для вычисления полных производных. Единственное отличие — это, конечно же, оформление оператора взятия производной. В математическом анализе для отличия частных производных от полных используется специальная запись, в которой буква d, обозначающая производную, и сверху, и снизу пишется наклонной. MathCAD, как и во всех остальных случаях, позволяет пользователю применять привычную запись. Для того, чтобы изменить внешний вид оператора производной, выделите выражение и кликните по нему правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню нужно выбрать пункт View Derivative As (Показывать производную как…), а в нем — Partial Derivative (Частная производная). Вы всегда можете вернуться к обычному отображению оператора производной, выбрав в том же самом меню пункт Derivative (Производная), который устанавливает для оператора производной вид оператора полной производной. Обратите внимание на то, что установка вида одного оператора взятия производной никак не влияет на все остальные операторы, как уже имеющиеся в вашей рабочей области, так и на те, которые будут добавлены в нее позднее.

Что касается такой весьма и весьма немаловажной вещи, как взятие смешанных производных, то она реализуется с помощью последовательного взятия частных производных по разным переменным. Хотя, конечно, в результате могут получаться и довольно громоздкие выражения, как, например, на иллюстрации, демонстрирующей применение нескольких операторов взятия производной для вычисления смешанных производных.

Неопределенные интегралы

Дифференцирование в математическом анализе неразрывно связано с интегрированием. Эти обратные друг другу действия — две стороны одной медали, а потому и мы с вами, поговорив об одном из них, перейдем к разговору о втором. У математиков есть шутка, что дифференцирование — это ремесло, а интегрирование — это искусство. MathCAD позволяет и интегрирование свести к уровню ремесла — если, конечно же, представлять себе, что в принципе может быть решаемо с помощью этой программы, а что нужно довести до того вида, в котором задачу уже можно «скармливать» MathCAD’у. Задача вычисления неопределенного интеграла обратна задаче нахождения производной функции. Неопределенный интеграл имеет также название первообразной, которое по ряду причин используется реже. Для вычисления неопределенных интегралов в среде MathCAD используется оператор, который можно легко найти на панели Calculus. Под знаком интеграла пользователь должен ввести функцию, для которой он хочет найти первообразную, а после знака дифференциала — переменную, по которой будет производиться интегрирование. Как видите, и здесь MathCAD верен себе, то есть дает пользователю возможность использовать, опять-таки, знакомые по математическому анализу обозначения неопределенных интегралов. Нужно отметить также, что для неопределенных интегралов необходимо применять символьное вычисление выражений, то есть знак «стрелочки», а не знак равенства.

Следует, впрочем, помнить, что многие интегралы просто принципиально не выражаются в элементарных функциях. В том случае, если вы подсунули MathCAD’у один из таких весьма распространенных интегралов, ситуация может иметь два различных финала: либо MathCAD успешно проинтегрирует выражение и выдаст результат с использованием каких-либо специальных функций, либо же честно признается, что его такое интегрировать не учили. Во втором случае вы увидите после «стрелочки», стоящей за интегралом, запись вида indef_int(f(x), x). Естественно, вместо f(x) и x будут соответственно стоять подынтегральная функция и та переменная, по которой вы хотели провести интегрирование. Оба возможных варианта продемонстрированы на иллюстрации ниже.

Со специальными функциями тоже все не так просто. Синтаксис, используемый для их записи в MathCAD’е, все же несколько отличается от принятого в математике, а потому, вполне вероятно, для того, чтобы разобраться в том, что за специальные функции скрываются за той или иной записью, придется воспользоваться справочной системой среды MathCAD. Для этого нажмите F1, в появившемся окне выберите вкладку Search, в поле рядом с кнопкой Go введите имя функции, информацию по которой вам нужно найти, а затем нажмите эту самую кнопку. Среди результатов поиска может оказаться и несколько разделов, и имеет смысл просмотреть их все.

В общем-то, даже в том случае, если MathCAD поднимает белый флаг при виде неопределенного интеграла, это не значит, что его вовсе невозможно вычислить в элементарных или специальных функциях. Вполне возможно, что с помощью каких-либо преобразований вам удастся привести его к виду, пригодному для решения в MathCAD. Также имеет смысл поискать решение в старых печатных справочниках или «погуглить» в интернете. Вполне возможно, что у MathCAD’а просто не хватило творческого воображения на то, чтобы до конца «раскрутить» ваш сложный интеграл.

Определенные интегралы

Неопределенные интегралы — это, конечно же, хорошо, но все же на практике куда как чаще используются интегралы определенные. И, думаю, для вас не окажется неожиданностью тот факт, что MathCAD прекрасно умеет справляться и с этим видом интегралов. Определенный интеграл, как вы понимаете, отличается от неопределенного наличием пределов интегрирования. Фактически неопределенный интеграл — это функция (первообразная подынтегральной функции), в то время как определенный интеграл — это просто какое-то число. То есть его мы можем вычислить не только аналитически, но и численно, что позволяет нам рассчитывать значения определенных интегралов даже тогда, когда первообразная рассчитана быть не может. Оператор для расчета определенных интегралов в MathCAD’е находится на панели Calculus недалеко от оператора расчета неопределенных интегралов и отличается от него, как я уже совсем недавно говорил, наличием пределов сверху и снизу от символа интеграла. После того, как вы запишете подынтегральное выражение, переменную интегрирования и собственно пределы, можно ставить знак равенства или стрелочку для вычисления определенного интеграла. В первом случае интеграл будет вычислен численно, во втором — аналитически.

Вопрос о том, какой способ вычисления интегралов использовать: численный или аналитический, — не такой надуманный и праздный, как может сначала показаться. Дело в том, что аналитически определенные интегралы вычисляются, во-первых, точнее, а во-вторых, быстрее, нежели численно. Правда, может возникнуть ситуация, аналогичная той, которую вы можете увидеть на иллюстрации выше — то есть символьный процессор не доведет процесс вычислений до конца, а оставит интеграл в виде смеси численных значений и функций. Впрочем, с этим всегда довольно просто справиться, как видите. Для вычисления кратных интегралов используется тот же прием, что и для вычисления смешанных частных производных для функций многих переменных. То есть мы последовательно интегрируем несколько раз функцию с заданными пределами, и в результате получаем именно то, что, в общем- то, и рассчитывали получить. Стоит отметить, что, поскольку при интегрировании кратных интегралов мы теряем при численном интегрировании особенно много времени, то здесь особенно желательно использовать именно аналитический способ вычисления интегралов.

В применении системы MathCAD для расчета определенных интегралов есть немало тонких моментов, которые не возникали при расчете интегралов неопределенных. Особенно это касается численных методов расчета интегралов. Как я уже говорил, эти методы позволяют рассчитать даже такие интегралы, которые не поддаются аналитическому вычислению. Однако за все надо платить, а потому использование численных методов интегрирования способно приводить к значительным погрешностям в результате, что, сами понимаете, при решении весьма значительного по своей распространенности класса задач не просто нежелательно, а часто даже совершенно недопустимо. О погрешностях при численном интегрировании в MathCAD’е и о том, как избежать того, чтобы они стали совсем уж гигантскими, мы с вами поговорим в следующий раз. А пока что давайте подведем итоги тому, о чем мы говорили сегодня.

Как видите, MathCAD с легкостью справляется с интегралами — пусть не со всеми, но с их значительной частью. Тех возможностей этой великолепной среды, о которых мы с вами уже успели поговорить в цикле статей «MathCAD — это просто!», на мой взгляд, как раз достаточно для того, чтобы прибавить вам энтузиазма в дальнейшем изучении этой программы.

SF, spaceflyer@tut.by

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 26 за 2008 год в рубрике soft

Лабораторная работа № 4. Дифференцирование средствами Mathcad.

Производной, как известно, называется предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента. Математически производная функ­ции f(x) в точке х определяется как:

f‘(x)=

В Mathcad для вычисления производной предусмотрена команда Symbolics / Variable / Differentiate. Для того чтобы данная команда была доступна, в рабочем документе в дифференцируемом выражении предварительно сле­дует выделить переменную, по которой производная должна быть вычислена. Можно просто навести на эту переменную маркер ввода (для чего, например, достаточно на этой переменной щелкнуть кнопкой мыши).

1.1. Производная от выражения.

Н а Рис. 1 представлено выражение ax 2 + sin(bx), которое будет дифферен­цироваться по переменной х. Это выражение было предварительно введено в рабочий документ, и в нем маркер ввода наведен на переменную х в ар­гументе синуса.

Рис. 1. Дифференцируемое выражение. Рис. 2. Результат вычисления производной по х

После того как переменная в выражении выделена, выбираем команду Symbolics / Variable/ Differentiate. Результат выполнения команды по умолчанию отображается под тем выра­жением, от которого вычисляется производная (Рис. 2).

С полученным выражением можно работать так же, как и с обычным, вве­денным пользователем в рабочий лист. Например, от этого выражения можно вычислить еще одну производную. Например пускай это будет про­изводная по b. Выделяем эту переменную и в очередной раз вы­полняем команду Symbolics / Variable / Differentiate. В результате будет вычислена новая производная, которая отобразиться вни­зу под исходным выражением.

Таким образом, в документе можно вычислять производные практически от любых выражений. Хотя такой метод вычисления производных достаточно прост, он связан с рядом неудобств, которые становятся очевидными при ре­шении более сложных задач:

Прежде всего, этот метод не пригоден для вычис­ления производной от функции, определенной пользователем в рабочем листе. При попытке вычислить производную с помощью команды Differentiate ре­зультат будет представлен как формальная запись производной от функции. Чтобы получить значение производной в явном виде, придется прибегнуть к другим методам (в частности, использовать оператор вычисления символь­ного значения).

Еще один обширный класс задач связан с вычислением про­изводных высоких порядков. В этом случае придется несколько раз вызывать команду Differentiate, что не всегда приемлемо.

Поэтому на практике для вычисления производных часто обращаются не к помощи меню, а вводят команды непосредственно в рабочий лист. При этом очень удобны математи­ческие палитры Calculus и Evaluation.

1.2. Символьная производная

Вычислим производную от выражения, не прибегая к командам меню Symbolics. Для этого на палитре Calculus выберем кнопку с изображением символа производной (Рис. 3). В результате этот символ с двумя заполнителями появляется в рабочем доку­менте (Рис. 4).

Рис. 3. Вставка символа производной. Рис. 4. Символ производной.

На месте нижнего заполнителя вводится переменная, по которой вычисляется производная, а на месте второго — дифференцируемое выражение. Если не прибегать к помощи команд меню Symbolics, то после ввода диффе­ренцируемого выражения следует ввести оператор вычисления символьного значения (стрелка вправо). Это можно сделать, щелкнув на соответствующей кнопке палитры Evaluation. После ввода оператора вычисления символьного значения рабочий документ будет иметь вид, как на Рис. 5. Производная будет вычислена, если щелкнуть курсором мыши вне области вводимого выражения или нажать клавишу Enter>. Результат вычисления производной представлен на Рис. 6.

Рис. 5. Ввод оператора вычисления Рис. 6. Результат вычисления производной

Несложно проверить, что точно такой же результат может быть получен, ес­ли воспользоваться командой Symbolics I Evaluate I Symbolically или на­жать комбинацию клавиш +. Правда, в этом случае результат отображается не справа от вычисляемого выражения, а под ним. Кроме того, между вычислением символь­ного результата с помощью команд меню и ключевых слов (т. е. инструкций, вводимых непосредственно в вычисляемые или преобразуемые символьные выражения посредством палитры Evaluation или Symbolic) существует одна принципиальная разница: если выражение вычислялось через команды меню и затем в документ были внесены изменения, то результат таких вычислений не пересчитывается. При использовании ключевых слов результат обновля­ется автоматически.

Часто бывает необходимо вычислить производную от функции, определен­ной ранее в рабочем документе. В качестве иллюстрации рассмотрим сле­дующий пример.

Как найти производную в маткаде

Как найти производную в маткаде

MathCAD имеет встроенный инструментарий для вычисления производных любой сложности. На панели Calculus расположена кнопка быстрого вызова этого инструмента. Программа выдает результат после вызова оператора аналитического вычисления.

Как найти производную в маткаде

Для аналитического вычисления производной выберите кнопку d/dx на панели Calсulus. На рабочем листе в черное окошко после оператора производной впишите вычисляемое выражение. Теперь введите знак стрелки с панели, либо наберите на клавиатуре сочетание Ctrl+”.” (русская буква «ю»). Нажмите F9. Значение производной функции будет выдано в виде математического выражения.

Как найти производную в маткаде

Решение задачи нахождения производной в определенной точке осуществляйте по следующей схеме. Сначала некоторой новой функции присвойте значение производной от заданной функции. Затем подставьте значение известной точки в эту функцию. Правильным будет и другой вариант. Задайте известное значение точки, а затем вычислите производную от нужной функции. Результат получайте с помощью знака равенства.

Как найти производную в маткаде

Вычисление производных высших порядков выполняйте с помощью кнопки dn/dxn, расположенной также в панели Calculus. Важно помнить, что показатель порядка n должен быть обязательно натуральным числом. Когда шаблон вычисления производной появится на рабочем поле, введите в соответствующие черные прямоугольники значение порядка, переменную, по которой будет произведено дифференцирование, и исследуемую функцию. Для получения результата используйте стрелку, а не знак равенства.

При вычислении помните, что погрешность при просчете каждого следующего порядка накапливается, например, результат для производной пятого порядка имеет точность до пятого знака после запятой. По этой причине не всегда имеет смысл использовать численные методы дифференцирования. Всегда проверяйте возможность получения аналитического результата.

Похожие публикации:

  1. Как поменять фон в автокаде
  2. Как поставить стрелку в маткаде
  3. Как посчитать интеграл в маткаде
  4. Как распечатать чертеж в автокаде

3.1.2. Вычисление производной функции в точке MathCAD 12 руководство

Для того чтобы рассчитать производную в точке, необходимо предварительно задать значение аргумента в этой точке (листинг 3.2, вторая строка). Результатом дифференцирования в этом случае будет число — значение производной в этой точке. Если результат удается отыскать аналитически, то он приводится в виде числового выражения, а для того, чтобы получить его в форме числа, достаточно ввести после выданного выражения символ числового равенства (последняя строка листинга 3.2).
Листинг 3.2. Аналитическое дифференцирование функции в точке

Для того чтобы продифференцировать функцию, вовсе не обязательно предварительно присваивать ей какое-либо имя, как это сделано в листингах 3.1, 3.2. Можно определить функцию непосредственно в операторе дифференцирования (это демонстрирует первая строка листинга 3.3).

Листинг 3.3. Правильное и неправильное использование оператора дифференцирования

Как вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению, и поэтому его легко использовать интуитивно. Однако в некоторых случаях при вводе оператора дифференцирования следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный во второй строке листинга 3.3, который демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования для вычисления производной в точке. Вместо вычисления производной sin(x) при х=2, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось из-за того, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=2, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=2, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен — в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

То же самое касается и операции численного дифференцирования, т. е. применения оператора вместо > .

Записать производную в виде одной дроби

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Записать число в виде десятичной дроби с сохранением а) двух, б) пяти верных знаков
Дано число 1/7, 2/9,10/11. Записать его в виде десятичной дроби с сохранением а) двух, б) пяти.

Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби
Подскажите, пожалуйста, откуда берётся последняя, выделенная красным цветом импликация.

Даны две рациональные дроби: a/b и c/d. Сложите их и результат представьте в виде несократимой дроби m/n.
Даны две рациональные дроби: a/b и c/d. Сложите их и результат представьте в виде несократимой.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *