Как задать комплексное число в маткаде
Перейти к содержимому

Как задать комплексное число в маткаде

  • автор:

Как задать комплексное число в маткаде

Функции комплексного числа

Используйте эти функции для извлечения величины и аргумента комплексного числа.

• Функция Re(Z) возвращает действительную часть Z .

• Функция Im(Z) возвращает мнимую часть Z .

• Функция arg(z) возвращает главное значение аргумента z между −π и π , включая π . Аргумент является значением θ , когда z записывается как |z| · e^(i·θ) .

Функция arg связана с полярными угловыми функциями.

• Z — действительный или комплексный скаляр или матрица.

• z — действительный или комплексный скаляр или вектор.

Как задать комплексное число в маткаде

MathCAD Воспринимает комплексные числа в форме a+bi, где a и b – вещественные числа. Комплексные числа можно вводить, или получать в результате вычислений. При вводе мнимые числа заканчиваются символом i или j. Нельзя использовать i или j сами по себе для обозначения мнимой единицы, во избежание смешения с именами переменных. Для ввода мнимой единицы следует напечатать 1i или 1j. При выходе из поля ввода единица не будет отображаться. Можно использовать j вместо i, если это удобнее. Чтобы MathCAD показывал нужный вам символ (i или j), выберите «Формат числа» из меню «Математика», нажмите на кнопку «Глобальный» и переключите «Мн.ед.» на i или j.

MathCAD содержит следующие операторы и функции для работы с комплексными числами:

Re(z) – вещественная часть z.

Im(z) – мнимая часть z.

arg(z) – угол в комплексной плоскости между вещественной осью и z. Результат заключён между π и –π.

— модуль z. Чтобы записать модуль выражения, заключите его в выделяющую рамку и нажмите клавишу с вертикальной чертой «|».

— Комплексно сопряжённое к z= a+bi, то есть a-bi. Чтобы применить к выражению этот оператор, выделите его и нажмите клавишу двойные кавычки «”».

При использовании в комплексной области многие функции являются многозначными. Для многозначной функции MathCAD возвращает значение, составляющее на комплексной плоскости самый малый положительный угол с положительным направлением действительной оси, то есть главное значение.

Рисунок 3.4.1 – Комплексные числа в MathCAD

На рисунке 3.4.1 показан пример использования возможностей MathCAD при работе с комплексными числами.

Воспользуйтесь поиском по сайту:

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2023 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.012 с) .

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 11

Большинство операций в среде Mathcad по умолчанию осуществляются над комплексными числами. Комплексное число является суммой действительного и мнимого числа, получающегося путем умножения любого действительного числа на мнимую единицу (imaginary unit) i. По определению, i 2 =-1.

Чтобы ввести мнимое число, например 3i:

  • Введите действительный сомножитель (3).
  • Введите символ «i» или «j» непосредственно после него.

Для ввода мнимой единицы надо нажать клавиши 1, i. Если просто ввести символ «i», то Mathcad интерпретирует его как переменную i. Кроме того, мнимая единица имеет вид 1i, только когда соответствующая формула выделена. В противном случае мнимая единица отображается просто как i (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Ввод мнимой единицы

Комплексное число можно ввести в виде обычной суммы действительной и мнимой частей или в виде любого выражения, содержащего мнимое число. Примеры ввода и вывода комплексных чисел иллюстрируются листингом 4.3.

Листинг 4.3. Комплексные числа:

Для работы с комплексными числами имеются несколько простых функций и операторов (см. разд. «Функции работы с комплексными числами» гл. 10), действие которых показано в листинге 4.4.

Листинг 4.4. Функций работы с комплексными числами:

Можно выводить мнимую единицу в результатах вычислений не как i, а как j. Для смены представления выберите нужное в списке Imaginary Value (Мнимое значение) диалогового окна Result Format (Формат результата), доступного по команде Format › Result › Display Options (Формат › Результат › Опции отображения).

Как задать комплексное число в маткаде

Тема 5. Вычисления с комплексными числами.

Пример 1. Математические операции с комплексными числами.

В MathCad поддерживаются все возможные операции над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление и др.).

Мнимая единица «i» вводится с панели инструментов «Calculator».

Комплексное число может быть также аргументом функции, элементом матрицы, вектора:

Специальные операции над комплексными числами

В Mathcad есть следующие специальные функции и операторы для работы с комплексными числами:

Вещественная часть z.

Мнимая часть z.

Угол в комплексной плоскости между вещественной осью и z. Возвращает результат между - и  радиан.

Модуль z. Чтобы записать модуль от выражения, заключите его в выделяющую рамку и нажмите клавишу с вертикальной полосой | .

Число, комплексно сопряженное к z. Чтобы применить к выражению оператор сопряжения, выделите выражение, затем нажмите двойную кавычку («). Число, сопряжённое к a + bi есть a — bi .

Рисунок 2 показывает некоторые примеры использования комплексных чисел в Mathcad.

Рисунок 2: Комплексные числа в Mathcad.

Многозначные функции

При использовании в комплексной области многие функции, о которых мы привыкли думать как о возвращающих одно значение, становятся многозначными.

Общее правило состоит в том, что для многозначной функции Mathcad всегда возвращает значение, составляющее на комплексной плоскости самый маленький положительный угол с положительным направлением действительной оси. Оно называется главным значением.

Например, если требуется вычислить (-1) 1/3 , Mathcad вернёт .5 + .866i , хотя мы обычно считаем -1 кубическим корнем из 1. Дело в том, что .5 + .866i составляет с положительным направлением вещественной оси угол только в 60 градусов, в то время как -1 составляет 180 градусов.

Единственное исключение из этого правила — оператор n-ого корня, описанный в главе Список операторов. Этот оператор возвращает вещественный корень всякий раз, когда это возможно. Рисунок 3 показывает эту особенность.

Рисунок 3: Нахождение вещественных корней nой степени из отрицательного числа.

Создание вектора или матрицы

Как создавать или редактировать векторы и матрицы

Вычисления с массивами

Определение переменных как массивов и использование их в выражениях

Нижние индексы и верхние индексы

Обращение к отдельным столбцам и элементам массива.

Отображение векторов и матриц

Как Mathcad отображает матрицы и векторы.

Ограничения размеров массивов

Ограничения размеров массивов, которые нужно вводить, сохранять или отображать.

Векторные и матричные операторы

Операторы, предназначенные для использования с векторами и матрицами.

Векторные и матричные функции

Встроенные функции, предназначенные для использования с векторами и матрицами.

Выполнение параллельных вычислений

Использование в Mathcad оператора векторизации для ускорения вычислений.

Использование векторов для одновременного определения нескольких переменных.

Функции, определяемые пользователем, и массивы

Использование массивов как аргументов к функциям, определяемым пользователем.

Массивы, элементы которых сами являются массивами.

прямоугольная таблица чисел — матрицей. Общий термин для вектора или матрицы — массив.

Имеются три способа создать массив:

Заполняя массив пустых полей, как обсуждается в этом разделе. Эта методика подходит для не слишком больших массивов.

Используя дискретный аргумент, чтобы определить элементы с его помощью, как обсуждено в следующей главе. Эта методика подходит, когда имеется некоторая явная формула для вычисления элементов через их индексы.

Считывая их из файлов данных.

Можно различать имена матриц, векторов и скаляров, используя различный шрифт для их написания. Например, во многих математических и инженерных книгах имена векторов пишутся жирным, а имена скалярных переменных — курсивом.

Похожие публикации:

  1. Как найти определитель матрицы в маткаде
  2. Как начертить линию в автокаде по размерам
  3. Как определить переменную в mathcad
  4. Как открыть файл dwf в автокад

Комплексные числа для чайников

На данном уроке мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Не беспокойтесь, я вас напугал, я вас и рассмешу. Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числами и немного рубить в тригонометрии. Впрочем, если что позабылось,
я напомню.

Урок состоит из следующих параграфов:

  • понятие комплексного числа;
  • алгебраическая форма комплексного числа, тут же сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел;
  • тригонометрическая и показательная форма комплексного числа;
  • возведение комплексных чисел в степень, формула Муавра;
  • извлечение корней из комплексных чисел, квадратное уравнение с комплексными корнями.

На любой вкус и цвет – кому, что интересно. А комплексные числа действительно становятся любимой темой. после того, как студенты знакомятся с другими разделами высшей алгебры =). Если Вы являетесь чайником, или только-только приступили к изучению комплексных чисел, то параграфы лучше прочитать по порядку, без «перескоков».

Сначала «поднимем» информацию об «обычных» школьных числах. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.

Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем:

единицу по действительной оси;

мнимую единицу по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.

Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Найти разности комплексных чисел и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Для выполнения этого действия нам понадобится понятие сопряжённого комплексного числа. Число называют сопряжённым для числа (и наоборот). Таким образом, – это пара сопряженных (по отношению друг к другу) чисел.

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю число .

Cмотрим на наш знаменатель: . В знаменателе находится число вида , поэтому сопряженным для него является , то есть .

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться бородатой формулой (помним, что и не путаемся в знаках. ).

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (запоминайте, кто не успел запомнить: ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю число, то есть на . Далее пользуемся формулой :
– обращаю внимание, что исходное и полученное – это одно и то же число.

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что :

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .
Выполним чертёж:

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Ясно, как день, обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно: . Проверка:

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид:

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен. ». Это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):

1) Если (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить. Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.

Как найти аргумент комплексного числа в зависимости от координатной четверти

Эх, сто лет от руки ничего не чертил, держите:

Как всегда, грязновато получилось =)

Я представлю в тригонометрической форме числа и , первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 2), то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
– число в тригонометрической форме.

Расскажу о забавном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.

Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа . Вы убедитесь, что действительно . Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно .

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 1), то (минус 60 градусов).

Таким образом:
– число в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол (или 300 градусов):
– число в исходной алгебраической форме.

Числа и представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: , . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: .

Число в показательной форме будет выглядеть так:

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси вас, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями

Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: . Заметьте, что это сопряжённые комплексные числа (числа вида , в нашем случае с нулевой действительной частью).

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

О том, как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, я расскажу чуть позже, а пока нечто знакомое:

Решить квадратное уравнение

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

Нетрудно понять,что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно комплексных корней, часть которых (или все) могут быть действительными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Но на этом тема не закрыта! Совсем скоро вы будете уверенно решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами (которые не являются действительными).

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при получается квадратный корень . Что касается именно квадратного корня, то он успешно извлекается и «алгебраическим» методом, который рассмотрен на уроке Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами. Но то позже – здесь и сейчас мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для произвольного «эн»:

Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:
, где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:

Найти корни уравнения

Перепишем уравнение в виде

В данном примере , , поэтому уравнение будет иметь два корня: и .
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
,

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается в первой четверти, поэтому:

Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:
,

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение , получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение , получаем второй корень:

Ответ: ,

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Следует отметить, что на практике аргумент подкоренного числа может оказаться не так «хорош», как в рассмотренном примере. В этом случае для извлечения квадратного корня лучше использовать упомянутый выше «алгебраический» метод.

И напоследок рассмотрим задание-«хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: .

Найти корни уравнения , где

Сначала представим уравнение в виде :

Обозначим привычной формульной буквой: .
Таким образом, требуется найти корни уравнения

В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: , ,
Детализирую общую формулу:
,

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается во второй четверти, поэтому:

Еще раз детализирую формулу:
,
Корень удобно сразу же упростить:

Подставляем в формулу значение и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение и получаем третий корень:

Очень часто полученные корни требуется изобразить графически:

Как выполнить чертеж?
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

По такому же алгоритму строится точка

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж.

Уравнения четвертого и высших порядков встречаются крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами.

Чтобы закрепить материал и узнать много нового, обязательно приходите на практикум Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами – будет жарко!

Решения и ответы:

Пример 8: Решение:
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 1), то . Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 3), то . Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Пример 11: Решение: Представим число в тригонометрической форме: (это число Примера 8). Используем формулу Муавра :

Пример 13: Решение:

Пример 15: Решение:

,
Разложим квадратный двучлен на множители:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Комплексные числа в маткаде

Привет, друзья! Сегодня я хочу рассказать вам о том, как использовать комплексные числа в программе Mathcad. Это очень полезный инструмент для решения различных задач, связанных с математикой и инженерией. Давайте разберемся, какие возможности предоставляет Mathcad в работе с комплексными числами.

Комплексные числа – это числа, состоящие из действительной и мнимой части. В Mathcad они представлены в виде a + bi, где a – действительная часть, а bi – мнимая часть (где i – мнимая единица, такая что i^2 = -1). Но какие же преимущества дает работа с комплексными числами?

Во-первых, комплексные числа позволяют решать задачи, которые невозможно решить с помощью только действительных чисел. Например, при решении уравнений высших порядков, иногда возникают корни с отрицательным значением под знаком радикала. В этом случае мы можем использовать комплексные числа, чтобы получить все корни уравнения.

Во-вторых, работа с комплексными числами позволяет нам решать задачи из электротехники. Например, при расчете переменного тока или при анализе электрических цепей. В таких задачах часто возникают величины, состоящие из действительной и мнимой составляющей, и для их вычисления нам потребуются комплексные числа.

Таким образом, работа с комплексными числами в Mathcad дает нам мощный инструмент для решения различных задач. Они позволяют нам получать более точные и полные результаты, которые не могут быть получены с использованием только действительных чисел. Попробуйте использовать комплексные числа в своих расчетах и вы сами увидите все их преимущества!

Полезный инструмент для решения сложных математических задач: комплексные числа в Маткаде

Комплексные числа позволяют решать задачи, в которых встречаются квадратные корни из отрицательных чисел. Это открывает новые горизонты возможностей в математике. В программе Маткад можно легко работать с комплексными числами, проводить арифметические операции, находить корни уравнений и т.д.

Давайте рассмотрим пример. Представим, что у нас есть квадратное уравнение x^2 + 4 = 0. Понятно, что у обычных вещественных чисел нет корня из отрицательного числа. Однако, если мы расширяем множество чисел до комплексных, то получаем корни уравнения x = ±2i, где i – мнимая единица, определенная как корень из -1. Таким образом, комплексные числа помогают нам найти решение задачи, которое было недоступно при работе только с вещественными числами.

Маткад предоставляет широкий спектр математических функций для работы с комплексными числами. Вы можете выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлекать корни и находить действительную и мнимую часть комплексного числа. Эти функции делают программу Маткад незаменимым инструментом для решения сложных математических задач, включающих комплексные числа.

Таким образом, использование комплексных чисел в Маткаде является неотъемлемым элементом работы со сложными математическими задачами. Они открывают новые возможности и помогают найти решения, которые ранее казались недостижимыми. Благодаря Маткаду и его возможностям работы с комплексными числами, моя математическая работа стала намного более эффективной и интересной. Комплексные числа в Маткаде – это настоящий полезный инструмент, который помогает нам покорять сложные математические горизонты!

Что такое комплексные числа и зачем они нужны?

Представьте, что вы решаете уравнение, которое не имеет решений в обычных действительных числах. Это может быть депрессивно и отчаянно, не так ли? Но тут на сцену выходят комплексные числа! Они позволяют нам решать уравнения, которые казались безнадежными.

Например, пусть у нас есть уравнение x^2 + 1 = 0. В обычных действительных числах это уравнение не имеет решений. Но если мы используем комплексные числа, то получаем два решения: x = i и x = -i, где i – мнимая единица, которая определяется как i^2 = -1.

Также, комплексные числа находят применение в различных областях науки и техники. Они используются в электротехнике, когда рассматриваются переменные электрические сигналы. Комплексные числа помогают анализировать и решать электрические цепи с различными элементами, такими как сопротивления, конденсаторы и индуктивности.

Как работать с комплексными числами в системе Маткад?

Привет всем, кто интересуется математикой и программированием! Сегодня я хочу поделиться с вами своим опытом работы с комплексными числами в системе Маткад. Это удивительный инструмент, который позволяет нам манипулировать и решать задачи, связанные с комплексными числами, весьма эффективно и удобно. Я уверен, что после прочтения этой статьи вы сможете легко справиться с этой математической операцией и применить ее в своих проектах. Давайте начнем!

Одним из первых шагов, которые мы должны сделать, чтобы начать работать с комплексными числами в Маткаде, является определение этих чисел. Мы можем использовать функцию “complex”, чтобы создать комплексное число с заданными вещественной и мнимой частями. Например, если мы хотим создать комплексное число 3 + 2i, мы можем использовать следующий код: complex(3, 2). Просто представьте, сколько возможностей открывается перед нами с помощью этой функции!

Когда у нас есть комплексные числа, мы можем выполнять над ними различные операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. С помощью операторов “+”, “-“, “*” и “/” мы можем легко выполнить эти операции. Например, если у нас есть два комплексных числа a = 3 + 2i и b = 1 – 4i, мы можем найти их сумму, вычитание, произведение и частное, используя следующий код:

  • Сумма: a + b
  • Вычитание: a – b
  • Произведение: a * b
  • Частное: a / b

Вот и все! Теперь мы знаем, как работать с комплексными числами в системе Маткад. Не стесняйтесь экспериментировать и применять эти знания в своих проектах. Уверен, что они помогут вам решать различные математические задачи и достигать новых высот! Удачи вам в изучении Маткада и математики в целом!

Преимущества использования комплексных чисел в Маткаде

Когда дело доходит до работы с математическими задачами, использование комплексных чисел в программе Маткаде обладает рядом важных преимуществ.

Во-первых, комплексные числа позволяют работать с задачами, которые невозможно решить с помощью вещественных чисел. Например, при решении электротехнических задач, где встречаются комплексные сопротивления или импедансы, использование комплексных чисел становится необходимостью. Это позволяет учесть фазовые сдвиги и амплитудные характеристики сигналов, что делает моделирование и анализ схем намного точнее и реалистичнее.

Во-вторых, комплексные числа удобны при работе с матричными операциями. Например, при решении систем линейных уравнений, где необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы, можно использовать комплексные числа для получения полного решения. Это позволяет более точно описать свойства математической системы и предсказать ее поведение.

Также, использование комплексных чисел в Маткаде позволяет создавать более гибкие и эффективные программы. Например, при создании алгоритмов для решения дифференциальных уравнений можно использовать комплексные числа для учета различных типов решений (например, фазовых траекторий) и получить более полное представление о поведении системы.

Таким образом, использование комплексных чисел в Маткаде позволяет решать более сложные задачи, учитывать разнообразные свойства математических систем и создавать более гибкие и эффективные программы.

Решение уравнений с комплексными числами в Маткаде

Когда мы сталкиваемся с уравнениями, содержащими комплексные числа, решение может показаться сложным и запутанным. Но благодаря возможностям программы Маткад, мы можем легко и эффективно найти эти решения и проанализировать результаты.

Давайте рассмотрим пример уравнения: z^2 + 2z + 2 = 0, где z – комплексное число. Как нам найти его корни? С помощью Маткада это делается в несколько кликов!

Воспользуемся функцией solve для решения уравнения. Запишем уравнение в виде: z^2 + 2z + 2 = 0. Теперь, используя функцию solve, мы передаем это уравнение и указываем, что мы ищем значения переменной z.

Маткад мгновенно рассчитает корни уравнения и покажет нам результат. В нашем случае, мы получаем два корня: z1 = -1 + i и z2 = -1 – i. И это всего лишь в несколько кликов! Теперь мы можем использовать эти значения в дальнейших вычислениях или анализе.

Использование комплексных чисел в Маткаде для моделирования электрических цепей

Вы когда-нибудь задумывались, как можно лучше понять и моделировать электрические цепи? Вот где комплексные числа в Маткаде приходят на помощь! Эти числа позволяют нам представить и анализировать электрические параметры с использованием действительной и мнимой составляющих.

Давайте рассмотрим пример: у вас есть электрическая цепь, состоящая из сопротивления R и индуктивности L, через которую проходит переменный ток. Мы можем представить эту цепь как комплексное число Z = R + jωL, где R – это сопротивление, L – индуктивность, а j – мнимая единица.

Дальше мы можем использовать эту комплексную форму записи для анализа и моделирования поведения цепи. При помощи Маткада мы можем с легкостью вычислить сопротивление, импеданс, амплитуду тока и фазу в такой цепи. Это дает нам полное представление о ее характеристиках и поведении при различных частотах и значениях параметров.

Таким образом, использование комплексных чисел и программы Маткад позволяет нам эффективно моделировать и анализировать электрические цепи, что является важным инструментом для инженеров и электронщиков. Это позволяет нам лучше понять и оптимизировать электрические системы, улучшая их производительность и надежность.

Заключение

Приведём несколько примеров задач, в которых применяются комплексные числа в Маткаде:

  • Решение систем линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Комплексные числа позволяют найти корни уравнений и определить, существует ли решение системы.
  • Вычисление интегралов с использованием комплексного численного интегрирования. Это позволяет решать задачи, которые были бы сложны или невозможны для обычных методов.
  • Расчёт электрических цепей с переменным током. Комплексные числа позволяют учитывать фазовые сдвиги и импеданс в цепях с различными элементами.

Важно отметить, что применение комплексных чисел в Маткаде не только повышает точность и скорость вычислений, но также открывает новые возможности для решения сложных задач. Благодаря комплексным числам становится возможным решать задачи, которые не могли быть решены ранее.

В своём личном опыте я обнаружил, что применение комплексных чисел в Маткаде не только помогает мне в решении задач, но также позволяет увидеть новые аспекты и взаимосвязи между различными математическими объектами. Это дает мне большую уверенность в правильности решения и помогает расширить мои знания в области математики и физики.

В итоге, применение комплексных чисел в Маткаде является неотъемлемой частью работы в области науки, инженерии и других математических дисциплин. Они помогают решать различные задачи более эффективно и точно, а также расширяют наши возможности в области математического моделирования и анализа.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *